Question

найти площадь треугольника вершины которого находятся А(-1;2;2), В(2,1,-1), С(1.-2,3)

Answer 1

Найдем координаты векторов AB, AC

$\overline{AB}=\{2-(-1);1-2;-1-2\}=\{3;-1;-3\}\\ \overline{AC}=\{1-(-1);-2-2;3-2\}=\{2;-4;1\}$

Площадь треугольника через векторное произведение векторов

$S=\dfrac{1}{2}\left| \overline{AB}\times\overline{AC}\right|$

Подсчитаем векторное произведение векторов:

$\overline{AB}\times \overline{AC}=\left|\begin{array}{ccc}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\ 3&-1&-3\\ 2&-4&1\end{array}\right|=\overline{i}\cdot(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ccc}-1&-3\\ -4&1\end{array}\right|+\overline{j}\cdot (-1)^{1+2}\cdot \\ \\ \cdot\left|\begin{array}{ccc}3&-3\\ 2&1\end{array}\right|+\overline{k}\cdot (-1)^{1+3}\cdot\left|\begin{array}{ccc}3&-1\\ 2&-4\end{array}\right|=\overline{i}(-1-12)-\overline{j}(3+6)+\overline{k}(-12+2)=\\ \\ \\ =-13\overline{i}-9\overline{j}-10\overline{k}=\{-13;-9;-10\}$

$\left|\overline{AB}\times\overline{AC}\right|=\sqrt{(-13)^2+(-9)^2+(-10)^2}=\sqrt{350}=5\sqrt{14}$

Окончательно имеем $S=\dfrac{5\sqrt{14}}{2}$ кв. ед.

Answer 2

Ответ:

$S_{\triangle ABC}=\frac{5\sqrt{14}}{2}$ квадратных единиц

Пошаговое объяснение:

Решение в приложении

Здесь используется формула для вычисления площади треугольника по векторному произведению