Question

Помогите разобраться с модулем

|x+1|+1/|x-1|>7x

Answer 1

ОДЗ x≠1

найду точки пересечения правой и левой части неравенства, для этого найду точки . где их разность равна 0

a)x>1

тогда можно опустить знаки модуля, так как выражения в них положительны

x+1+1/(x-1)-7x=0

(x^2-7x(x-1))/(x-1)=0

x^2-7x^2+7x-=0

-6x^2+7x=0; x(7-6x)=0; x1=0( в интервал x>1 не входит)

x2=7/6-подходит. значит в этой точки графики левой и правой части пересекаются

обе функции и y1=x+1+1/(x-1) и y2=7x монотонные,

y1(2)=4; y2(2)=14-значит после пересечения в x=7/6 y2>y1. значит на интервале x=(1;7/6) y1>y2

б)x=[-1;1)

девая часть неравенства примет вид

x+1+1/-(x-1)=x+1+1/(1-x)

аналогично найду точки пересечения левой и правой части неравенства

x+1+1/(1-x)-7x=0

1-x^2+1-7x(1-x)=0

2-x^2-7x+7x^2=0

6x^2-7x+=0

D=49-48=1

x1=(7+1)/12=2/3; x2=(7-10/12=1/2-оба корня подходят для x=[-1;1)

[-1]+++(1/2)-----(2/3)++++(1)

выходит что левая часть неравенства больше правой

на x=[-1; 1/2)U(2/3;1)

в)x=(-∞;-1)

левая часть неравенства примет вид

-(x+1)+1/(-(x-1)=-x-1+1/(1-x)

найду точки пересечения левой и правой части

1/(1-x)-x-1-7x=0

(1/(1-x)-(8x+1))/(1-x)=0

1/(1-x)-(8x+1)=0

1-(8x+1)(1-x)=0

1-8x+8x^2-1+x=0

8x^2-7x=0

x(8x-7)=0

x1=0; x2=7/8-оба корня не входят в выбранный интервал x=(-∞;-1)-значит пересечения частей неравенства нет и левая часть неравенства больше правой как и на интервале x=[-1;1/2)

Ответ неравенство верно на x=(-∞;1/2)U(2/3;1)U(1;7/6)