Question

Найдите наибольшее значение функции x^5 - x^3 - 20x на отрезке [-9;0]

Answer 1

Найдем точки экстремума, предварительно вычислив производную функции первого порядка

$f'(x)=\left(x^5-x^3-20x\right)'=5x^4-3x^2-20=0$

Решим как квадратное уравнение относительно $x^2$

$D=(-3)^2-4\cdot 5\cdot(-20)=409\\ \\ x^2=\dfrac{3-\sqrt{409}}{2\cdot5}$

Это уравнение решений не имеет, так как левая уравнения положительно, а правая - отрицательно.

$x^2=\dfrac{3+\sqrt{409}}{10}\\ \\ x=\pm\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{409}}{10}}$

Только $x=-\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{409}}{10}}\in [-9;0]$, второй корень не удовлетворяет условию.

Найдем наибольшее значение функции на концах отрезка.

$f(-9)=-9^5+9^3+20\cdot9=-58140\\ f(0)=0\\ f\left(-\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{409}}{10}}\right)\approx26$

Ответ: $\displaystyle \max_{[-9;0]}f(x)=26$