Question

Параллельно оси цилиндра проведена плоскость, пересекающая нижнюю основу по хорде, которую видно из центра этой основы под углом 2α. Найдите площадь боковой поверхности и объем цилиндра, если диагональ полученного сечения равна m и падает на плоскость основания цилиндра под углом β.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

∠AOB=2α  ,  ∠BAC=β  ,  AC=m

ΔABC:  ∠ABC=90° ,  sin∠BAC=BC/AC  ⇒  BC=AC*sin∠BAC=m*sinβ=H - высота цилиндра

сos∠BAC=AB/AC  ⇒  AB=AC*cos∠BAC=m*cosβ

ΔAOB:  OA=OB=R  ,  по теореме синусов  АВ/sin∠AOB=2R  ⇒  R=AB/(2sin2α)=(m*cosβ)/(2sin2α)

$V=\pi R^2\cdot H=\pi \cdot \frac{m^2\cdot cos^2\beta }{4\, sin^22\alpha }\cdot m\cdot sin\beta =\frac{\pi m^3}{4}\cdot \frac{sin\beta \cdot cos^2\beta }{sin^22\alpha }=\frac{\pi \, m^3}{8}\cdot \frac{sin2\beta \cdot cos\beta }{sin^22\alpha }$

$S_{bok}=2\pi RH=2\pi \cdot \frac{m\, cos\beta }{2\, sin2\alpha }\cdot m\, sin\beta =\pi \cdot \frac{m^2\cdot sin2\beta }{2\, sin2\alpha }=\frac{\pi \, m^2}{2}\cdot \frac{sin2\beta }{sin2\alpha }$