Question

решите уравнения в целых числах
(^-возведение в степень)
1)x^2+y^2=4z-1
2)x^3+21y^2+5=0
3)x^2-7y=10

Answer 1

1) Справа нечетное число -> слева тоже -> четность x² и y² разная -> четность x и y разная.

Допустим, что x четное, а y нечетное(они взаимозаменяемы в данном уравнении, поэтому аналогичные рассуждения будут и для нечетного x)

Тогда x = 2k, y = 2l+1

Подставим: 4k²+4l²+4l+1=4z-1 ⇔ (k²+l²+l-z)=-1/2 - целое число равно не целому. Противоречие. А значит решений нет

2) Рассмотрим остатки от деления x³ на 7 в зависимости от остатка x при делении на 7: 0->0, 1->1, 2->1, 3->6, 4->1, 5->6, 6->6

С другой стороны, из условия получаем, что x³+5≡0(mod 7) -> x³≡2(mod 7). Противоречие. А значит решений нет.

3) Рассмотрим остатки от деления x² на 7 в зависимости от остатка x при делении на 7: 0->0, 1->1, 2->4, 3->2, 4->2, 5->4, 6->1

С другой стороны, из условия получаем, что x²≡3(mod 7). Противоречие. А значит решений нет.