Question

решите уравнение относительно значений параметра а
$\frac{ \sqrt[]{3ax - 2 {a}^{2} - a + 4} - x + 1}{ {x}^{2} - 6ax + 9 {a}^{2} } = 0$
​

Answer 1

Ответ:

Для a ∈ (-∞; -1) корней не существует

Для a ∈ [-1; -0.5): x = 2a + 3

Для a = -0.5: x = 2 (как подстановка a в корень (2a + 3) )

Для a ∈ (-0.5, 1): x = 2a + 3

Для a ∈ [1; 3): x₁ = 2a + 3; x₂ = a - 1

Для a = 3: x = 2 (как подстановка a в корень (a - 1) )

Для a ∈ (3; +∞): x₁ = 2a + 3; x₂ = a - 1

Объяснение:

Можно заметить, что знаменатель уравнения представляет собой полный квадрат суммы. Ее можно свернуть в $(x-3a)^2$. Таким образом, мы сразу же можем сказать, что в итоге решения уравнения нужно исключить корни, равные 3а, так как в этом случае знаменатель обращается в нуль.

Чтобы дробь была равна нулю, необходимо, чтобы и числитель был равен нулю.

$\sqrt{3ax-2a^2-a+4}-x+1=0\\\sqrt{3ax-2a^2-a+4}= x-1\\3ax - 2a^2-a+4 = x^2 - 2x + 1\\x^2 - 2x - 3ax + 2a^2 + a - 3 = 0\\x^2 - (2 + 3a)x + (2a^2 + a - 3) = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения

$x^2 - (2 + 3a)x + (2a^2 + a - 3) = 0\\D = (2 + 3a)^2 - 4(2a^2+a-3)\\D = 9a^2 + 12a + 4 - 8a^2 - 4a + 12 = a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2$

Дискриминант данного уравнения всегда неотрицательное число, поэтому как минимум одно решение будет всегда

Отсюда находим x:

$x^2 - (2 + 3a)x + (2a^2 + a - 3) = 0\\D = (a + 4)^2\\x_1 = \frac{(2+3a)+a+4}{2} = \frac{4a+6}{2} = 2a+3\\x_2 = \frac{(2+3a) - a - 4}{2} = \frac{2a - 2}{2} = a - 1$

Дополнительно определим, какие параметры a вполне допустимы:

$2a + 3 \neq 3a\\a \neq 3$

$a - 1 \neq 3a\\-2a \neq 1\\a \neq  0.5$

Если a = 3, то корень единственный x = x₂ = a - 1 = 2

И если a = -0.5, то корень x = x₁ = 2a + 3 = 2

UPD:

Как верно заметили в комментариях, упустил одну деталь, и она связана с особенностями квадратного корня. Значение квадратного корня всегда неотрицательное число, поэтому справедливо неравенство:

$x - 1 \geq 0\\x \geq 1$

Это значит, что корни, которые были получены через дискриминант, должны удовлетворять:

$\left \{ {{2a+3 \geq 1} \atop {a - 1 \geq 1}} \right. \\\left \{ {{2a \geq -2} \atop {a  \geq 2}} \right.\\\left \{ {{a \geq -1} \atop {a \geq 1}} \right.$

Это значит, что параметр a должен быть не меньше чем 2, чтобы существовало два корня

С другой стороны, если оно будет меньше 2, это еще не говорит о том, что и корней не будет. На отрезке [-1; 2) будет строго один корень, который равен 2a + 3. Других вариантов нет.