Question

помогите решить уравнение ​

Answer 1

Ответ:

$x_1 = 3\\x_2 = 1$

Объяснение:

Представим 0.2 как 1/5, или 5 с отрицательной степеню.

Получим:

$5^{x-1} + 5 * 5^{-(x-2)} = 26\\5^{x-1} + 5 * 5^{2 - x} = 26\\\frac{5^x}{5} + 5 * \frac{5^2}{5^x} = 26$

Проведем замену: $5^x = t$

Тогда:

$\frac{t}{5} + \frac{5^3}{t} = 26\\t^2 + 5^4 = 130t\\t^2 - 130t + 625 = 0$

Можно решить это уравнение дискриминантом, но числа, которые получатся, будут очень большими для вычислений, поэтому воспользуемся теоремой Виета. 625 - это произведение корней данного квадратного уравнения, иначе говоря, каждый из корней квадратного уравнения есть некоторая степень пятерки, не превышающая показателя 4. Тогда становится очевидно, что $t_1 = 125\\t_2 = 5$

Переходя от t к x, получаем:

$5^x = 125\\x_1 = 3$

$5^x = 5\\x_2 = 1$