Question

Помогите пожалуйста решить задачу по геометрии! Без использования тригонометрические функций!

Answer 1

Проведём перпендикуляр OH к AC.

Рассмотрим ΔAMK и ΔAHO:

1. ∠OAH — общий;
2. ∠AMK = ∠AHO = 90° ⇒

⇒ ΔAMK ~ ΔAHO по двум углам ⇒ $\dfrac{AK}{AO}=\dfrac{AM}{AH}\Leftrightarrow AK=\dfrac{AO\cdot AM}{AH}$

ΔAOC — равнобедренный, OH ⊥ AC ⇒ AH = HC ⇒ AH = AC : 2 = 3.

O — центр пересечения биссектрис, но ΔABC — правильный ⇒ O — точка пересечения медиан (которые в правильном треугольнике равны, как бы их ни проводили; обозначим медиану за m) ⇒ $AO=\dfrac{2}{3}m$. Но в правильном треугольнике медиана — это ещё и высота, значит, $m=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$.

$AO=\dfrac{2}{3}\cdot 3\sqrt{3}=2\sqrt{3}\\AM=\dfrac{AO}{2}=\sqrt{3}\\AK=\dfrac{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{3}=2\\KC=AC-AK=6-2=4$

Ответ: AK = 2 см, KC = 4 см