Ответы
Ответ:
3,75√5, 60√5/17
Объяснение:
∆DBE ~ ∆ABC, т.к. DE || AC
Проведём высоты в обоих треугольниках. Высота маленького - BO, большого - BH.
Т.к. треугольник равнобедренный, то высота так же делит пополам основание. Тогда AH = 5.
Теперь можем найти BH.
По теореме Пифагора
BH = √(13²-5²) = 12
С другой стороны, 12-2a = BO
Тогда коэффициент подобия двух трегуольников можно записать как k = (12-2a)/12 = 1- a/6.
Тогда, DE = a = AC × k
a = 10 × (1 - a/6)
a = 10 - 10a/6
a + 5a/3 = 10
(3a+5a)/3 = 10
8a/3 = 10
=> a = 30/8 = 3,75
По теореме Пифагора, искомая диагональ d = √((2a)²+a²) = √(4a²+a²) = a√5
Подставим полученное значение а и получим окончательный ответ: d = 3,75√5
Второй случай: если большая сторона прямогольника лежит на AC.
Так же проводим высоты, получаем BH = 12.
Из рисунка видим, что 12-а = BO
Тогда коэффициент подобия треугольников можно выразить как k = (12-a)/12 = 1 - a/12
Тогда DE = 2a = AC × k
2a = 10 - 10a/12 = 10 - 5a/6
2a + 5a/6 = 10
(12a+5a)/6 = 10
17a/6 = 10
a = 60/17
Возвращаясь к полученным ранее результатам d = a√5, получаем второй ответ d = 60√5/17
В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой. Высота отсечет прямоугольный треугольник со сторонами 5, 12, 13 (пифагорова тройка). Будем рассматривать этот треугольник.
Одна сторона вписанного прямоугольника параллельна основанию, другая параллельна высоте. Они отсекают от рассматриваемого треугольника подобные, с отношением катетов 5/12.
Примем меньшую сторону прямоугольника за x. Возможны два случая
1) (5 -x/2)/2x =5/12 <=> 60-6x=10x <=> x=60/16=15/4
2) (5-x)/x =5/12 <=> 60-12x=5x <=> x=60/17
Диагональ прямоугольника по теореме Пифагора
d=√(x^2 +4x^2) =x√5
Ответ: 15/4 √5, 60/17 √5
