Question

Под воздействием свободного электрического поля свободный диполь начинает колебаться. Получите дифференциальное уравнение и формулу периода колебаний, если известны: напряжённость E электрического поля, электрический момент p и момент инерции J диполя. Считать угол отклонения диполя от положения устойчивого равновесия малым (sin a = a).

Answer 1

Ответ: d²α/dt²+p*E*α/J=0, T=2*π*√[J/(p*E)].

Объяснение:

Со стороны электрического поля на диполь действует момент сил M=-p*E*sin(α). По основному уравнению динамики вращательного движения, M=J*d²α/dt², где t - время. Отсюда J*d²α/dt²-M=0, или J*d²α/dt²+p*E*sin(α)=0. Но так как по условию угол α мал, то sin(α)≈α, и тогда это уравнение принимает вид J*d²α/dt²+p*E*α=0. Разделив его на J, получаем искомое уравнение: d²α/dt²+p*E*α/J=0. Для его решения составляем характеристическое уравнение: k²+p*E/J=0. Оно имеет решения k1=i*√(p*E/J) и k2=-i*√(p*E/J), где i=√-1. Тогда α(t)=A*cos[t*√(p*E/J)]+B*sin[t*√(p*E/J)]=C*sin[t*√(p*E/J)+β]=C*sin(ω*t+β), где угловая частота ω=2*π/T=√(p*E/J). Отсюда период колебаний T=2*π/ω=2*π*√[J/(p*E)].