Question

найдите наименьшее целое значение функции у=5/2√(sinx-cosx)^2 +3

Answer 1

Ответ: наименьшее целое равно 3, так как минимальное значение левого слагаемого равно нулю.

Объяснение:

Answer 2

$y=\dfrac{5}{2}\sqrt{(\sin x-\cos x)^2}+3=\dfrac{5}{2}|\sin x-\cos x|+3$

Далее по формуле дополнительного угла

$a\sin x-b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x-\arcsin\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})$

$y=\dfrac{5}{2}\cdot \sqrt{2}\left|\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\right|+3=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\left|\sin \left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\right|+3$

Множество значений функции y = sin(x-π/4) : E(y) = [-1;1], тогда множество значений функции y = |sin (x-π/4) | это E(y) = [0;1]. Оценим далее с помощью двойного неравенства

$0\leq \bigg|\sin \bigg(x-\dfrac{\pi}{4}\bigg)\bigg|\leq 1~~~~~~\bigg|\cdot \dfrac{5\sqrt{2}}{2}\\ \\ \\0\leq \bigg|\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\sin\bigg(x-\dfrac{\pi}{4}\bigg)\bigg|\leq \dfrac{5\sqrt{2}}{2}~~~~\bigg|+3\\ \\ \\ 3\leq\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\bigg|\sin\bigg(x-\dfrac{\pi}{4}\bigg)\bigg|+3\leq \dfrac{5\sqrt{2}}{2}+3$

Множество значений данной функции: $E(y)=\left[3;3+\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\right]$ откуда наименьшее значение функции y =3.

Ответ: 3.