Question

На столе лежат 25 камешков. Два игрока по очереди берут 1 или 2 камешка. Проигравшим считается тот, кто возьмёт со стола последние камешки. Кто выиграет при правильной игре?

Answer 1

Стратегия первого: для начала он разбивает 25 камешков на кучки по 1 и по 2. Так, 25=12*2+1, так что он мысленно (или непосредственно раскладывает) разбивает все камешки на 12 пар и 1 камешек. Пусть $P_{1}$ - это количество групп по одному камешку, а $P_{2}$ - соответственно по два. Назовем разбиение хорошим, если $P_{1}+P_{2}$ нечетно. Если в некоторый момент времени $P_{2}\neq 0$, то первый всегда может менять четность суммы $P_{1}+P_{2}$, убирая один камешек из групп по одному камешку или два камешка из групп по двое и сохранять ее, убирая один камешек из групп по двое. Если $P_{2}=0$ и игра еще не окончена, то первый опять мысленно разбивает все камешки на группы по одному и по двое. Стратегия первого будет заключаться в том, чтобы каждый раз после его хода разбиение было хорошим, что, как мы показали, всегда возможно.