Question

98 баллов за одну задачу! Заранее спасибо!
Представьте число 100 в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим. И докажите, что большее произведение получить нельзя.
Пожалуйста, подробное решение, БЕЗ производных.

Answer 1

Ответ:

$100=2+2+\underbrace{3+3+\dots+3}_{32}$

Пошаговое объяснение:

В искомом разложении не может быть чисел n ≥ 5. Действительно, если n заменить на два числа 2 и (n - 2), то вклад в произведение изменится на 2 * (n - 2) - n = n - 4 > 0, что противоречит предположению о максимальности произведения.

Можно считать, что в разложении нет и четверок, их можно поменять на две двойки, произведение от этого не меняется.

Кроме того, очевидно, что брать слагаемыми единицы невыгодно: если есть два слагаемых 1 и n, их можно заменить на (n + 1) и увеличить произведение.

Наконец, двоек может быть не больше двух: если двоек хотя бы три, то три двойки можно поменять на две тройки, произведение увеличится (2 * 2 * 2 < 3 * 3).

Итак, в искомом разложении есть только двойки и тройки, причём двоек не больше двух.

Остаётся перебрать три варианта:

1) Двоек нет. Так не может быть, 100 не делится на 3.

2) Двойка одна. Тогда троек (100 - 2)/3 - нецелое число?! Тоже невозможный сценарий.

3) Двойки две. Тогда троек 32, а произведение равно $2^2\cdot3^{32}$. Исходя из написанного выше, большее произведение не получить.