Question

Докажите, что при верно неравенсто $(2sinx +\frac{1}{cosx}) (2cosx+\frac{1}{sinx}) \geq 8$)
И х больше или меньше пи деленное на 2

Answer 1

Умножим левую и правую части неравенства на $\sin x\cos x\ne0$ и умножим отдельные множители на каждую скобку.

$(2\sin x\cos x+1)(2\cos x\sin x+1)\geq 8\sin x\cos x\\ \\ (\sin 2x+1)^2\geq 4\sin 2x\\ \\ \sin^22x+2\sin 2x+1-4\sin2x\geq 0\\ \\ \sin^22x-2\sin 2x+1\geq 0\\ \\ (\sin 2x-1)^2\geq 0$

Это верно для всех х, кроме х = πn/2, n ∈ Z