Ответы
Ответ:
a) верно
б) неверно
Объяснение:
a) докажем от противного:
деление на 3 дает остатки 0 (если делится нацело), 1 или 2 (если не делится).
Пусть есть два натуральных числа некратные 3-м:
3a+1 и 3b+2 или 3a+1 и 3b+1 или 3a+2 и 3b+2
Рассмотрим сумму их квадратов:
1) (3a+1)²+(3b+2)²=9a²+6a+1+9b²+12b+4=9(a²+b²)+6(a+2b)+5
9 делится на 3
6 делится на 3
5 не делится на 3
Значит вся сумма не делится на 3
2) Аналогично
(3a+1)²+(3b+1)²=9a²+6a+1+9b²+6b+1=9(a²+b²)+6(a+b)+2
9 делится на 3
6 делится на 3
2 не делится на 3
Значит вся сумма не делится на 3
3) (3a+2)²+(3b+2)²=9a²+12a+4+9b²+12b+4=9(a²+b²)+12(a+b)+8
9 делится на 3
12 делится на 3
8 не делится на 3
Значит вся сумма не делится на 3
Таким образом наше предположение неверно! Ч.т.д
б) Можно привести аналогичное доказательство
Пусть есть два натуральных числа некратные 5-и:
5a+1 и 5b+2
(5a+1)²+(5b+2)²=25a²+10a+1+25b²+20b+4=25(a²+b²)+10(a+2b)+5
25 делится на 5
10 делится на 5
5 делится на 5
Значит вся сумма делится на 5
Таким образом предложение б) неверно!
P.S. для опровержения пункта б) достаточно привести пример
2²+1²=4+1=5
сумма квадратов делится на 5, хотя оба числа некратные 5