Question

Прошу помочь с решением задачи. Скриншот с условием прикладываю

Answer 1

преобразуем выражение:

$6^{2n}+3^n+3^{n+2}=3^{2n}*2^{2n}+3^n+9*3^n=3^{n}(3^n*(2^2)^n+1+9)=\\ \\ =3^n(3^n*4^n+10)=3^n(12^n+10)$

Предположим, что данное выражение делится на 11 при всех натуральных n

Докажем это:

Заметим, что 3ⁿ не делится на 11. Значит всё выражение делится на 11 только в том случае, если 12ⁿ+10 делится на 11.

Доказательство методом математической индукции:

1) Если n=1, то 12+10=22 - кратно 11.

Условие выполняется!

2) Пусть для всех натуральных n=k выполняется:

$(12^k+10)\ \vdots \ 11$

Тогда для n=k+1

$12^{k+1}+10=12*12^k+10=12*12^k+12*10-12*10+10=\\ \\ =12(12^k+10)-110$

$(12^k+10)\ \vdots \ 11 ; \ \ 110 \ \vdots \ 11$

Таким образом наше предположение верно!

Ответ: таких чисел не существует