Question

В какое максимальное число раз может увеличиться и в какое максимальное число раз может уменьшиться сумма цифр натурального числа при его умножении на 8?
Ответ я знаю, в 8 раз в обоих случаях.
1*8 = 8 - сумма цифр увеличилась в 8 раз
125*8 = 1000 - сумма цифр уменьшилась в 8 раз.
Вопрос - как это доказать?

Answer 1

Лемма: рассмотрим числа, в записи которых отсутствует 0. Тогда при умножении этого числа на 8 сумма его цифр увеличится не более чем в 8 раз.

Доказательство: предположим противное. Пусть $s(n)$ - сумма цифр числа n, а $r(n)$ - количество цифр числа n. Тогда $r(8n)\geq [\frac{\alpha s(n)}{9}]$, где $\alpha\geq 9$, с другой стороны $r(n)\leq s(n)$, значит, $s(n)\geq[\frac{\alpha s(n)}{9}]$, что неверно для $\alpha \geq 10$. Если $\alpha=9$, то число n состоит только из единиц, а число 8n - из девяток, что, очевидно, неверно. Лемма доказана.

Рассмотрим теперь произвольное число x, где есть нули. Выберем такое число y, что во всех отличных от нуля цифрах числа x оно с ним совпадает, а в нулевых цифрах у него единицы (например, для числа x=8048903 число y было бы 8148913). Тогда $x-y$ - есть число, состоящее из 1 и 0. В свою очередь $8x-8y$ состоит из 8 и 0.

Если $s(8x)=ks(x),\;k\geq 9$, то применяя лемму, получим $s(8x)-s(8y)>8(s(x)-s(y))$, с другой стороны $s(8x)-s(8y)\leq7(s(x)-s(y))$, что видно из механизма умножения в столбик таких чисел. Противоречие.

Пример: 1*8=8

Задача про минимум решается аналогично