Question

sin^2($\frac{pi}{8}$ + x) = sinx + sin^2($\frac{pi}{8}$ - x)


Надеюсь у кого-то получится это решить.

Answer 1

$Sin^{2}(\frac{\pi }{8}+x)=Sinx+Sin^{2}(\frac{\pi }{8}-x)\\\\Sin^{2}(\frac{\pi }{8}+x)-Sin^{2}(\frac{\pi }{8}-x)=Sinx\\\\(Sin(\frac{\pi }{8}+x)+Sin(\frac{\pi }{8}-x))(Sin(\frac{\pi }{8}+x)-Sin(\frac{\pi }{8}-x))=Sinx$

$(Sin\frac{\pi }{8}Cosx+Cos\frac{\pi }{8}Sinx+Sin\frac{\pi }{8}Cosx-Cos\frac{\pi }{8}Sinx)(Sin\frac{\pi }{8}Cosx+Cos\frac{\pi }{8} Sinx-Sin\frac{\pi }{8}Cosx+Cos\frac{\pi }{8}Sinx)=Sinx\\\\2Sin\frac{\pi }{8}Cosx*2Cos\frac{\pi }{8}Sinx=Sinx\\\\Sin\frac{\pi }{4}Sin2x=Sinx$

$\frac{\sqrt{2} }{2}*2Sinx Cosx-Sinx=0\\\\\sqrt{2}Sinx Cosx-Sinx=0\\\\Sinx(\sqrt{2}Cosx-1)=0\\\\\left[\begin{array}{ccc}Sinx=0\\\sqrt{2}Cosx-1=0 \end{array}\right\\\\\left[\begin{array}{ccc}Sinx=0\\Cosx=\frac{1}{\sqrt{2} } \end{array}\right\\\\\left[\begin{array}{ccc}x=\pi n,n\in Z \\x=\pm\frac{\pi }{4}+2\pi n,n\in Z  \end{array}\right$

Answer 2

Ответ:

$\left [ {{x=\pi n, n \in Z} \atop {x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k}, k\in Z} \right.$

Объяснение:

Воспользуемся формулой понижения степени $\sin^2 a=\frac{1-\cos 2a}{2}:$

$\frac{1-\cos(\frac{\pi}{4}+2x)}{2}=\sin x+\frac{1-\cos(\frac{\pi}{4}-2x)}{2};\ \cos(\frac{\pi}{4}-2x)-\cos(\frac{\pi}{4}+2x)=2\sin x.$

Воспользуемся формулой $\cos a-\cos b=2\sin\frac{a+b}{2}\cdot\sin\frac{b-a}{2}:$

$2\sin\frac{\pi}{4}\cdot \sin 2x=2\sin x;\ \sqrt{2}\sin 2x=2\sin x;\ 2\sqrt{2}\sin x\cdot \cos x=2\sin x;$

$2\sin x(\sqrt{2}\cos x-1)=0;\ \left [ {{\sin x=0} \atop {\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}}} \right. ;\ \left [ {{x=\pi n} \atop {x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi k}} \right.$