Question

Решить в натуральных чисел. х^3-4х=у^2

Answer 1

Пусть числа x, y взаимно просты.

Поделим обе части на $x^2$;

Получим $y^2\equiv -4 \mod x$. Рассмотрим минимальное такое значение y.

Пусть $y\equiv t \mod x$, причем $t\neq \pm4$. Тогда  

$y^2\equiv t^2\equiv -4 \mod x$, но $t<y$, противоречие.

Значит, $y\equiv \pm4 \mod x$.

Пусть $y=bx\pm 4$; Получаем уравнение: $x^3-b^2x^2-4x(1+b)\mp4=0$, так как мы ищем натуральные решения, то они лежат среди натуральных делителей свободного члена. Проверяя, получаем, что решений в натуральных числах нет.