Question

вычислить длину дуги кривой при помощи интеграла

$\sqrt{ \frac{x}{a} } + \sqrt{ \frac{y}{b} } = 1$
​

Answer 1

Пусть $a,\:b > 0$ Тогда $x,\:y > 0$. Также, т.к. корень - число неотрицательное, то $\sqrt{\dfrac{x}{a}}\leq 1\to x\leq a\\ \sqrt{\dfrac{y}{b}}\leq 1\to y\leq b$.

Теперь заменим $a$ на противоположное число $-a$. Заметим, что теперь $-a\leq x\leq 0$ и каждому значению функции, соответствующее каждому значению аргумента, соответствует противоположный аргумент. Проведя аналогичные действия для  $b$, заметим, что изменение знака параметров на противоположные лишь отображает график относительно координатных осей, но не меняют длину кривой. Тогда достаточно найти длину кривой для положительных  $a, b$ , а затем в получившейся формуле заменить $a$ на  $|a|$ , $b$ на $|b|$.

Теперь запишем параметрическое задание функции.

Пусть $x=asin^4t$. Тогда $sin^2t+\sqrt{\dfrac{y}{b}}=sin^2t+cos^2t\to y=bcos^4t$, $t\in[0;\dfrac{\pi}{2}]$.

$x'_t=4asin^3tcost\\ y'_t=-4bcos^3tsint$

Вычисление длины кривой на фото 1 и 2. На 3 фото вычисление вспомогательного интеграла.

Теперь остается лишь подставить модули параметров. Получаем $L=\dfrac{a^2b^2}{(\sqrt{a^2+b^2})^3}ln|\dfrac{|a|+|b|+\sqrt{a^2+b^2}}{|a|+|b|-\sqrt{a^2+b^2}}|+\dfrac{|a|^3+|b|^3}{a^2+b^2}$