Question

Воспользуйтесь методом замены переменной и решите уравнение $\displaystyle \frac{6}{(x+1)(x+2)} +\frac{8}{(x-1)(x+4)} =1$

Answer 1

$\dfrac{6}{(x+1)(x+2)}+\dfrac{8}{(x-1)(x+4)}=1\\ \\ \dfrac{6}{x^2+3x+2}+\dfrac{8}{x^2+3x-4}=1$

Пусть $x^2+3x+2=t$, получаем

$\dfrac{6}{t}+\dfrac{8}{t-6}=1$

Умножим левую и правую части уравнения на $t(t-6)\ne 0$, получим

$6(t-6)+8t=t(t-6)\\ \\ 6t-36+8t=t^2-6t\\ \\ t^2-20t+36=0$

По теореме Виета:

$t_1=2\\ t_2=18$

Выполним обратную замену

$x^2+3x+2=2\\ \\ x^2+3x=0\\ \\ x(x+3)=0\\ x_1=0\\ x_2=-3$

$x^2+3x+2=18\\ x^2+3x-16=0\\ D=3^2-4\cdot 1\cdot (-16)=73$

$x_{3,4}=\dfrac{-3\pm\sqrt{73}}{2}$