Question

Найти площадь области, ограниченной линиями y=x, y=1/4 x^4

Answer 1

Найдем абсциссу точки A:

$\frac{x^4}{4}=x,\\x^4=4x,\\x^3=4,\\x=\sqrt[3]{4}.$

$S = S_{AHO}-S_1=\frac{AH\cdot OH}{2}-\int\limits^{\sqrt[3]{4}}_{0} {\frac{x^4}{4} } \, dx =\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{4}^2 - (\frac{\sqrt[3]{4}^5}{20}-\frac{0^5}{20})=0,6\sqrt[3]{2}.$

Ответ: $0,6\sqrt[3]{2}$ ед².

Answer 2

Найдем ограниченные линии, для этого приравниваем функции

$x=0.25x^4\\ 4x=x^4\\ \\ x^4-4x=0\\ \\ x(x^3-4)=0\\ \\ x_1=0;\\ \\ x_2=\sqrt[3]{4}$

Площадь ограниченной линиями:

$\displaystyle S=\int\limits^{a}_b \left(f(x)-g(x)\right)dx=\int\limits^{\sqrt[3]{4}}_0\left(x-0.25x^4\right)dx=\left(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^5}{20}\right)\bigg|^{\sqrt[3]{4}}_0=\\ \\ \\ =\dfrac{\sqrt[3]{4^2}}{2}-\dfrac{\sqrt[3]{4^5}}{20}=\dfrac{\sqrt[3]{2^4}}{2}-\dfrac{\sqrt[3]{2^{10}}}{20}=\dfrac{2\sqrt[3]{2}}{2}-\dfrac{8\sqrt[3]{2}}{20}=\dfrac{12\sqrt[3]{2}}{20}=\dfrac{3\sqrt[3]{2}}{5}$