Question

Радиус окружности вписанной в равнобедренный треугольник равен 2 см, длина основания равна 4√‎3 см. Найдите площадь треугольника.

Answer 1

Радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника вычисляется по формуле:

$r=\frac{b}{2}\sqrt{\frac{2a-b}{2a+b} }$

b-основание,a-боковая сторона,  r - радиус вписанной окружности равнобедренного треугольника  

$2=\frac{4\sqrt{3}}{2}*\sqrt{\frac{2a-4\sqrt{3}}{2a+4\sqrt{3}} }$

$2=2\sqrt{3}*\sqrt{\frac{2*(a-2\sqrt{3})}{2*(a+2\sqrt{3})} }|:2\sqrt{3}$

$(\frac{2}{2\sqrt{3} })^2 =(\sqrt{\frac{a-2\sqrt{3}}{a+2\sqrt{3}} })^2$

$\frac{1}{3} =\frac{a-2\sqrt{3}}{a+2\sqrt{3}}$

$a+2\sqrt{3}=3*(a-2\sqrt{3})$

$a+2\sqrt{3}=3a-6\sqrt{3}$

$a-3a=-2\sqrt{3}-6\sqrt{3}$

$-2a=-8\sqrt{3}$

$a=4\sqrt{3}cm$

основание равно боковой стороне, значит треугольник равносторонний

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$S=\frac{a^2\sqrt{3} }{4}$

$S=\frac{(4\sqrt{3})^2*\sqrt{3} }{4}$

$S=\frac{16*3*\sqrt{3} }{4}$

$S=4*3\sqrt{3}$

$S=12\sqrt{3}cm^2$