Question

Решить неравенство ....

Answer 1

Заметим, что (√5 - 2)(√5 + 2) = (√5)² - 2² = 5 - 4 = 1 ⇒ (√5 - 2) = 1/(√5 + 2) = (√5 + 2)⁻¹

(√5 + 2)⁻ˣ + (√5 + 2)ˣ < 2√5

Очевидная замена t = (√5 + 2)ˣ , t > 0

(1/t) + t < 2√5  ⇔  (t² - 2√5t + 1)/t < 0, решаем методом интервалов, находим нули функции:

• t² - 2√5t + 1 = 0  ⇒ D = 20 - 4 = 16 ⇒ t₁ и t₂ = (2√5 ± 4)/2 = √5 ± 2
• t₃ = 0

Отмечаем на числовой прямой выколотые точки: 0 ; √5 - 2 ; √5 + 2

• На интервале (-∞;0) знак -
• на (0;√5 - 2) знак +
• на (√5 - 2; √5 + 2) знак -
• на (√5 + 2; +∞) знак +

Выбираем те промежутки, где знак - , но учитываем t > 0. Получаем √5 - 2 < t < √5 + 2. Обратная замена, (√5 - 2) < (√5 + 2)ˣ < (√5 + 2) ⇔ - 1 < х < 1

Ответ: (-1;1)