Question

Вроде бы не сложно, но за лето всё забыл)

Answer 1

ОДЗ:

$\left \{ {{4-x^2>0} \atop{log_{2}(x^4-8x^2+16)-log^{2}_{2}(4-x^2)\neq0 }} \right. \left \{ {{-2<x<2} \atop {log_{2}(4-x^2)^2-log^{2}_{2}(4-x^2)\neq0\Rightarrow log_(2)(4-x^2)\cdot (2-log_{2}(4-x^2)\neq 0 }} \right.$

$\left \{ {{-2<x<2} \atop {log_(2)(4-x^2)\neq0; log_{2}(4-x^2)\neq 0 }\Rightarrow x^2\neq 3;x^2\neq0 } \right.$

ОДЗ:

x∈(-2;-√3)U(-√3;0)U(0;√3)U(√3;2)

Так как в условиях ОДЗ

$log_{2}(x^4-8x^2+16)=log_(2}(4-x^2)^2=2log_{2}|4-x^2|=log_{2}(4-x^2)$

Замена переменной:

$log_{2}(4-x^2)=t\\ \\\ \frac{1}{2t-t^2}\leq 1 \\ \\ \frac{1}{2t-t^2}-1\leq 0 \\ \\\frac{1-2t+t^2}{2t-t^2}\leq0\\ \\\frac{(t-1)^2}{t(t-2)}\geq0$

Применяем метод интервалов:

__+__ (0) __-__ [1] __-___(2) __+_

t < 0   или    t=1    или   t > 2

Обратный переход:

log₂(4-x²) < 0   или   log₂(4-x²)=1   или  log₂(4-x²)>2

log₂(4-x²) <log₂1   или   log₂(4-x²)=log₂2   или  log₂(4-x²)>log₂4

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая, поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента:

4-х²<1   или   4-x²=2  или    4-x²>4

x²>3   или  x²=2    или    x²<0

С учетом ОДЗ получаем ответ

(-2;-√3)U(√3;2)