Question

помогите решить 25 баллов

Answer 1

Первым делом составим область определения:

x-3>0 ⇒ x>3

x-3≠1 ⇒ x≠4

6-x>0 ⇒ x<6

x^2-9x+18≠0 ⇒ x≠3; x≠6

$3log_{x-3}(6-x)+1\leq \frac{1}{4}log_{x-3}^2(x^2-9x+18)^2; \\3log_{x-3}(6-x)+1\leq\frac{1}{4}log_{x-3}^2((x-3)(x-6))^2;\\3log_{x-3}(6-x)+1\leq log_{x-3}^2|(x-3)(x-6)|;\\3log_{x-3}(6-x)+1\leq log_{x-3}^2(x-3)(6-x);\\3log_{x-3}(6-x)+1\leq(1+log_{x-3}(6-x))^2;\\3log_{x-3}(6-x)+1\leq 1+ 2log_{x-3}(6-x)+log_{x-3}^2(6-x);\\-log_{x-3}^2(6-x)+log_{x-3}(6-x)\leq0;\\(log_{x-3}(6-x))(log_{x-3}(6-x)-1)\geq 0; t=log_{x-3}(6-x); t(t-1)\geq 0$

Из преобразований вроде все очевидно, раскрытие модулей на области определения  происходит.

Теперь решим методом интервалов последнее неравенство.

Нули f(t)=t(t-1): t=0 и t=1

t∈(-∞;0]∪[1;+∞) или если на знаках неравенств (только значок системы замени значком совокупности, он будет ОБЪЕДИНЯТЬ множества результатов неравенств системы, просто в редакторе формул этого символа как-то нет, есть только матричный/массивный)

$\left \{ {{t\leq 0 } \atop {t\geq 1}} \right. ; \left \{ {{log_{x-3}(6-x) \leq 0} \atop {log_{x-3}(6-x)\geq 1}} \right.$

Оба неравенства проще всего решить методом рационализации.

Итак, выражение $log_ab$ при сравнении с 0 эквивалентно выражению $(a-1)(b-1)$ при сравнении с 0.

А это же выражение при сравнении с 0 эквивалентно выражению $(a-1)(b-a)$ при сравнении с 0.

Решаем:

$\left \{ {{(x-3-1)(6-x-1) \leq 0} \atop {(x-3-1)(6-x-x+3) \geq 0}} \right. ; \left \{ {{(x-4)(x-5) \geq 0} \atop {(x-4)(2x-9) \leq }0} \right.$

Оба неравенства решаются методом интервалов

в 1-ом x∈(-∞;4]∪[5;+∞)

во 2-ом x∈[4;4,5]

В совокупности это x∈(-∞;4,5]∪[5;+∞)

Но учитывая область определения исходного неравенства, получим

x∈(3;4)∪(4;9/2)∪[5;6)

Ответ: $(3;4)$∪$(4;\frac{9}{2}]$∪$[5;6)$