Ответы
2(4) а. Высота, проведенная из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу.
На рисунке не обозначено, какой отрезок равен 4.
Вариант 1. Пусть гипотенуза равна 4, тогда проекции катетов на гипотенузу равны х и (4 - х).
х/2 = 2/(4 - х),
4 = 4х - х².
х² - 4х + 4 = 0, Д = 16 - 4*4 = 0, х = 4/2*1 = 2.
Значит, высота делит гипотенузу пополам, поэтому она же и медиана и биссектриса. Острые углы по 45 градусов.
Ответ: с = а = 2/sin 45 = 2/(√2/2) = 2√2.
cos α = cos 45° = √2/2.
Вариант 2. Пусть проекция катета с на гипотенузу равна 4.
Тогда с = √(2² + 4²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5.
Из подобия треугольников проекция катета а на гипотенузу равна 2*(2/4) = 1.
Гипотенуза равна 4 + 1 = 5.
Катет а = √(5² - (√20)²) = √5.
cos α = 2√5/5.
2(4) б. Пусть проекция катета а на гипотенузу равна 4.
Используем подобие треугольников. Угол α против отрезка 4.
h = 4/tgα = 4/(2/3) = 6.
Катет a = √(16 + 36) = √52 = 2√13.
Катет b = a/tgα = 2√13/(2/3) = 3√13.