Question

..........................................

Answer 1

$13\cdot \sqrt{a-13^2}+27\cdot \sqrt{b-27^2}+40\cdot \sqrt{c-40^2}+31\cdot \sqrt{d-31^2}=\dfrac{a+b+c+d}{2}$

По неравенству Коши

$13\sqrt{a-13^2}\leq \dfrac{13^2+a-13^2}{2}=\dfrac{a}{2}$

$27\sqrt{b-27^2}\leq \dfrac{27^2+b-27^2}{2}=\dfrac{b}{2}$

$40\sqrt{c-40^2}\leq\dfrac{40^2+c-40^2}{2}=\dfrac{c}{2}$

$31\sqrt{d-31^2}\leq\dfrac{31^2+d-31^2}{2}=\dfrac{d}{2}$

Сложив эти четыре неравенства мы получим

$13\sqrt{a-13^2}+27\sqrt{b-27^2}+40\sqrt{c-40^2}+31\sqrt{d-31^2}\leq\dfrac{a+b+c+d}{2}$

Отсюда и из уравнения следует, что примененное неравенство превратилось в равенство. Среднее геометрическое не превышает среднее арифметическое и при этом равенство достигается при

$13^2=a-13^2~~~\Rightarrow~~ \boxed{a=338}\\ \\ 27^2=b-27^2~~~\Rightarow~~~ \boxed{b=1458}\\ \\ 40^2=c-40^2~~~\Rightarow~~~ \boxed{c=3200}\\ \\ 31^2=d-31^2~~~\Rightarow~~~ \boxed{d=1922}$

Максимальная разность: 3200 - 338 = 2862