Question

Пожалуйста, помогите. Решите в натуральных числах уравнение a!+b!=$5^{n}$

Answer 1

Ответ:  (1;4;2) , (4;1;2)

Объяснение:

Число  5^n  является нечетным ,  тогда  одно из  чисел

a!  или  b!  должно быть нечетным  ( сумма  двух четных и двух нечетных чисел четна , а четного  и нечетного нечетна)

Единственный  нечетный факториал  это 1!=1 , а все остальные факториалы четны.

Пусть :  a=1

1+b!=5^n

b!=5^n -1

Откуда b!  не делится на  5 , а значит b<=4.

2!+1=3 ;  3!+1=7   4!+1=25=5^2 (подходит)

a=1 ; b=4;  n=2  -решение

В силу симметрии  задачи :

a=4 ; b=1 ; n=2  так же решение.