Question

Доведіть нерівність: (а+3)(b+27)(a+b)≥72ab; a≥0; b≥0; c≥0

Answer 1

Для неотрицательных чисел a,b,c применим неравенство Коши

$a+3\geq 2\sqrt{3a}\\ b+27\geq 2\sqrt{27b}=6\sqrt{3b}\\ a+b\geq 2\sqrt{ab}$

Перемножая эти неравенства, мы получим

$(a+3)(b+27)(a+b)\geq 2\sqrt{3a}\cdot 6\sqrt{3b}\cdot 2\sqrt{ab}=72ab$