Question

Уравнение $x^{2}$+2$p_{1}$x+$q_{1}$=0 и $x^{2}$+2$p_{2}$x+$q_{2}$=0 таковы что $q_{1}$+$q_{2}$=2$p_{1}$$p_{2}$. Докажите, что что если одно из них не имеет корней, то второе имеет корни.

Answer 1

D₁=(2p₁)²-4q₁=4p₁²-4q₁=4(p₁²-q₁)

D₂=(2p₂)²-4q₂=4(p₂²-q₂)

Условие

"если одно из них не имеет корней, то второе имеет корни" означает, что

если один дискриминат отрицателен, то одно квадратное уравнение не имеет корней, тогда второй дискриминат положителен и второе квадратное уравнение имеет два корня)

Пусть p₁²-q₁ < 0 Докажем, что

p₂²-q₂>0  при условии  q₁+q₂=2p₁p₂  

p₁²-q₁ < 0 ⇒ q₁ > p²₁ > 0

q₁+q₂=2p₁p₂  ⇒     p₂=(q₁+q₂)/2p₁

p₂²-q₂=(q₁+q₂)²/4p₁²  -   q₂ =  (q₁²+2q₁q₂+q²₂-4p²₁q₂)/4p²₁=

=(q²₁+q²₂)/4p²₁   +   2q₂(q₁-2p²₁)/4p²₁

Первая дробь положительна. Вторая дробь тоже должна быть положительной

Так как

q₁ > p²₁ > 0

⇒q₁-2p²₁>  p²₁-2 p²₁= - p²₁⇒   и тогда q₂ <0

D₂=4p²₂-q₂ >0