Question

даны натуральные числа a, b, c, d где а > b и c > d .докажите если a + b + c + d равно ab - cd то число a + c составное

Answer 1

a+b+c+d=ab-cd

a=(b+c+d+cd)/(b-1)=(b-1+(c+1)(d+1))/(b-1) = 1+((c+1)(d+1)/(b-1)) = 1+k

то есть либо c+1 делится на b-1, либо d+1 на b-1, либо (c+1)(d+1)

Так как a+c=(c+1)(b+d)/(b-1)      

1) Если (c+1)/(b-1)=k1, то a+c=k1*(b+d) учитывая что a+c>b+d (по условию) то k1>1 , значит k>1 , откуда a+c составное

2) Если (d+1)/(b-1)=k2, то a+c=(c+1)(b+d)/(b-1)>(d+1)/(b+d)/(b-1)>k2*(b+d) и по той же схеме k2>1 , значит a+c составное.

3) Если

c+1=x*y

d+1=m*n

b-1=x*m*l

где x,y,m,n,l>1  

a+c=y*(n+xl)/l = y*(x+(n/l)) так как a+с натуральное, и x,y>1 то a+c составное