Question

Найти множество значений функции
$f(x) = arccos( \frac{ \cos(x) }{ \cos(x) + 1 } )$
​

Answer 1

Ответ:

$D[f(x)] \in \left[\dfrac{\pi}{3}, \pi \right]$

Пошаговое объяснение:

Сначала разберёмся с базовыми областью определения $E$ и множеством значений $D$ арккосинуса:

Арккосинус принимает значения только от -1 до +1: $E[\arccos{x}] \in [-1, 1]$.

Арккосинус -- монотонная функция, которая достигает в краевых точка следующих значений: $\arccos{(-1)} = \pi; \arccos{(1)} = 0.$ Значит множество значений арккосинуса не может выходить следующих рамок:

$D[\arccos{x}] \in [0, \pi]$

Далее, перейдём к нашей функции $f(x) = \arccos{\dfrac{\cos{x}}{\cos{x}+1}}$. Для того, чтобы понять, какие значения может иметь данная функция, нужно понять, какие значения может иметь функция $g(x) = \dfrac{\cos{x}}{\cos{x}+1}$. Так как $E[f(x)] = D[g(x)]$.

У функции $g(x)$ существуют асимптоты $x = \pi + 2 \pi k, k \in \mathbb{Z}$, при приближении к которым функция стремится к $-\infty$ (решение уравнения $\cos{x}+1 = 0$). Значит нам уже понятно, что минимальное значение функции $g(x)$ стремится к минус бесконечности.

Найдём экстремальные точки функции $g(x)$ (на самом деле максимальные, но желательно это формально доказать). Для этого приравняем производную $g(x)$ к 0.

Найдём $g'(x)$:

$g'(x) = - \dfrac{\sin{x}}{(\cos{x}+1)^2}$

Найдём экстремальные точки $x^*$:

$g'(x^*) = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad \sin{x^*} = 0$

Принимая во внимание ОДЗ, решением остаются точки $x^* = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Эти точки являются экстремальными. Докажем, что они являются максимумами. Для этого найдём вторую производную $g(x)$:

$g''(x) = \dfrac{\cos{x}-2}{(\cos{x}+1)^2}$

В числителе стоит всегда отрицательная величина, в знаменателе -- всегда положительная. Значит, $g''(x)$ всегда отрицательна. Отсюда следует, что функция $g(x)$ является вогнутой, и для неё ВСЕ экстремальные точки являются максимумами.

Значит $x^* = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z}$ -- максимумы.

Значения функции в этих точках: $g(x^*) = \dfrac{1}{2}$

Получается, что $D[g(x)] \in \left(-\infty, \dfrac{1}{2} \right ]$.

То есть область определения $f(x)$ следующая:

$E[f(x)] \in \left( -\infty, \dfrac{1}{2} \right]$.

Однако мы знаем, что область определения арккосинуса не может выходить за пределы $[-1, 1]$. Значит придётся пересечь эти множества и в итоге окажется:

$E[f(x)] \in \left[ -1, \dfrac{1}{2} \right]$.

Так как $\arccos{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{\pi}{3}$, то множество значений получается следующим:

$D[f(x)] \in \left[\dfrac{\pi}{3}, \pi \right]$