Question

Дам 15 баллов
В равнобедренном треугольнике ABC с тупым углом B и основанием AC = 30 проведены биссектриса AK и медиана AM , при этом KM = 2 . Найдите боковую сторону и медиану AM .

Answer 1

Так как АМ - медиана, то BM = CM отсюда CM = BK + KM.

По свойству биссектрисы:

$\dfrac{BK}{CK}=\dfrac{AB}{AC}~~\Rightarrow~~ \dfrac{BK}{KM+CM}=\dfrac{2CM}{AC}~~\Rightarrow~~\dfrac{BK}{2KM+BK}=\dfrac{2(BK+KM)}{AC}\\ \\ \\ \dfrac{BK}{2\cdot 2+BK}=\dfrac{2(BK+2)}{30}~~\Rightarrow~~\dfrac{BK}{4+BK}=\dfrac{BK+2}{15}\\ \\ 15BK=(BK+2)(4+BK)\\ \\ 15BK=8+BK^2+6BK\\ \\ BK^2-9BK+8=0$

По теореме Виета

$BK=-1$ - не удовлетворяет условию;

$BK=8$

Тогда длина боковой стороны: $BC=2(8+2)=20$

Достроим до параллелограмма ABDC, имеем AD = 2AM

Сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон

$BC^2+AD^2=2(AC^2+AB^2)\\ \\ BC^2+4AM^2=2AC^2+2AB^2\\ \\ 20^2+4AM^2=2\cdot 30^2+2\cdot 20^2\\ \\ AM^2=550\\ \\ AM=5\sqrt{22}$

Ответ: 20 и AM = 5√22