Question

Допоможіть рішити 1.102 і 1.103 даю 30 балів

Answer 1

1.102

1)

ОДЗ:

{2x - y ≥ 0  ⇒  y  ≤ 2x

{x - y ≥ 0  ⇒  y  ≤ x

Cм. рис. 1

В условиях ОДЗ возводим обе части неравенства в квадрат:

2х - у <  x - y

x < 0

С учетом ОДЗ

О т в е т. на рис. 2

б)

См. рис. 3

1.103

Проверяем для n=1

1·2·3=(1·2·3·4)/4 -  верно

Предполагаем, что

равенство верно для n=k

$1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+ ... +k\cdot(k+1)\cdot(k+2)=\frac{k\cdot(k+1)\cdot(k+2)\cdot(k+3)}{4}$

Докажем пользуясь этим равенством, что данное равенство верно и для n=k+1

$1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+ ... +k\cdot(k+1)\cdot(k+2)+(k+1)\cdot(k+2)\cdot(k+3)=\frac{(k+1)\cdot(k+2)\cdot(k+3)\cdot(k+4)}{4}$

Выписываем левую часть

$1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+ ... +k\cdot(k+1)\cdot(k+2)+(k+1)\cdot(k+2)\cdot(k+3)$

Заменяем первые k слагаемых   на $\frac{k\cdot(k+1)\cdot(k+2)\cdot(k+3)}{4}$

получаем сумму:

$\frac{k\cdot(k+1)\cdot(k+2)\cdot(k+3)}{4}+(k+1)\cdot(k+2)\cdot(k+3)=\\\\=(k+1)\cdot(k+2)\cdot(k+3)\cdot (\frac{k}{4}+1)=\frac{(k+1)\cdot(k+2)\cdot(k+3)\cdot(k+4)}{4}$

что и требовалось получить.

На основании принципа матем. индукции равенство верно для любого натурального n