Question

Решите уравнение
$log_{tgx}(2 - ctgx) + 2 log_{(2 - ctgx)}\sqrt{tgx} = \frac{5}{2}$
​

Answer 1

Область определения запишем

$\left\{\begin{matrix}tgx>0\\ tgx \neq 1\\ 2-ctgx>0\\ 2-ctgx>0\\ 2-ctgx \neq 1\\ tgx>0\end{matrix}\right.$

Систематизируем немного

$\left\{\begin{matrix}tgx>0\\ tgx \neq 1\\ 2-ctgx>0\\ 2-ctgx \neq 1\end{matrix}\right.$

Из последнего видим, что $ctgx\neq 1 \Rightarrow tgx=\neq 1$, а это уже есть. Остается тогда

$\left\{\begin{matrix}tgx>0\\ tgx \neq 1\\ ctgx<2\end{matrix}\right.$

Правда, решая неравенство $ctgx<2; \frac{1}{tgx}<2; \frac{1-2tgx}{tgx}<0; \frac{tgx-\frac{1}{2} }{tgx}>0$

методом интервалов, получаем

$tgx\in(-\infty;0)\cup(\frac{1}{2};+\infty)$

Но тангенс из другого неравенства больше нуля, поэтому

$tgx>\frac{1}{2}$ и не забываем $tgx\neq 1$, вот все ограничения.

Теперь решаем неравенство:

$log_{tgx}(2-ctgx)+2\frac{1}{2 \cdot log_{tgx }(2-ctgx)} =\frac{5}{2};$

$t=log_{tgx}(2-ctgx); t+\frac{1}{t}-\frac{5}{2}=0; \frac{2t^2-5t+2}{t}=0$

Тут t явно не равно нулю в числителе, поэтому это ограничение нам особо не нужно.

$2t^2-5t+2=0; D=(-5)^2-4\cdot2 \cdot 2=25-16=9=3^2;$

$t=\frac{5\pm3}{4}; \left [ {{t=\frac{1}{2} } \atop {t=2}} \right.$

Решаем 1-ое уравнение (t=1/2):$log_{tgx}(2-ctgx)=\frac{1}{2}; 2-ctgx=\sqrt{tgx}; 2-\frac{1}{tgx}=\sqrt{tgx}$

$2-\frac{1}{p^2}=p; 2p^2-1=p^3; p^3-2p^2+1=0;$

Видно по сумме коэффициентов, равно 0, что p=1 - корень уравнения. Однако, $\sqrt{tgx}=1; \Rightarrow tgx=1$, но по ограничениям не подходит. Теперь делим уголком или по схеме Горнера на p-1 и получаем

$p^2-p-1=0; D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-1)=5$

$p=\frac{1\pm\sqrt{5} }{2}; p^2=\frac{1\pm 2\sqrt{5}+5 }{4}=\frac{3\pm\sqrt{5} }{2}=tgx$

Видно, что оба значения положительны, но второе и больше 1/2, так как в числителе число, куда больше, чем 1.

А вот другой корень проверим:

$\frac{3-\sqrt{5} }{2}\vee\frac{1}{2}; (3-\sqrt{5})\vee1; 3-\sqrt{5}<1$, а значит, tgx <1/2 в этом случае и это нам не подходит, отсюда берем лишь

$tgx=\frac{3+\sqrt{5} }{2}; x=arctg(\frac{3+\sqrt{5} }{2} )+\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Решаем второе уравнение:

$log_{tgx}(2-ctgx)=2; 2-ctgx=tg^2x; 2-\frac{1}{tgx}=tg^2x; k=tgx;$

$2-\frac{1}{k}=k^2; 2k-k^3-1=0; k^3-2k+1=0;$

(то, что $k\neq 0$ здесь понятно, поэтому смело на него умножаем все уравнение без потери корней)

Тут сумма коэффициентов равна 0, k=1 - корень. Поделим на k-1 уголком или по схеме Горнера и получим

$k^3-2k+1=(k-1)(k^2+k-1)$

$(k-1)(k^2+k-1)=0;$

Корень k=1=tgx нам не подходит, так как по ограничениям $tgx\neq 1$

Решаем квадратное уравнение, которое дает нам вторая скобка.

$k^2+k-1=0; D=1^2-4\cdot 1\cdot(-1)=5; k=\frac{-1\pm\sqrt{5} }{2}$

Отрицательный корень не берем, так как $tgx>\frac{1}{2}$

Проверим положительный корень на выполнение ограничений (сравня с 1/2)

$\frac{\sqrt{5}-1 }{2} \vee \frac{1}{2} \Rightarrow (\sqrt{5}-1) \vee 1;$

Левое выражение больше правого, значит, этот корень удовлетворяет $tgx>\frac{1}{2}$ (так как $k$ это не целое число, то оно не равно 1, то есть $tgx\neq 1$, поэтому корень подходит)

$tgx=\frac{\sqrt{5} -1}{2}; x=arctg(\frac{\sqrt{5}-1}{2} )+\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\boxed{x=arctg(\frac{3+\sqrt{5} }{2} )+\pi k, k \in \mathbb{Z},arctg(\frac{\sqrt{5}-1}{2} )+\pi n, n \in \mathbb{Z}}$

Answer 2

ОДЗ на рисунке (решения долны входить в синие секторы)

решение на фото.

$OTBET: \ arcctg\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\pi n; \ arcctg\frac{3-\sqrt{5}}{2}+\pi n, \ n \in Z$