Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА, ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием

Answer 1

$\displaystyle \int\frac{x^3+2}{x^2+2x+4}dx=\int\frac{x^3+2x^2+4x-2x^2-4x-8+10}={x^2+2x+4}dx=\\ \\ \\=\int\frac{x(x^2+2x+4)-2(x^2+2x+4)+10}{x^2+2x+4}dx=\int \bigg(\frac{10}{x^2+2x+4}+x-2\bigg)dx=\\ \\ \\ =\int\frac{10}{(x+1)^2+(\sqrt{3})^2}dx+\int  xdx-2\int dx=\frac{10}{\sqrt{3}}{\rm arctg}\bigg(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\bigg)+\frac{x^2}{2}-2x+C$

Проверка:

$\displaystyle\left(\frac{10}{\sqrt{3}}{\rm arctg}\bigg(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\bigg)+\frac{x^2}{2}-2x+C\right)'=\dfrac{10}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right)'}{1+\left(\frac{x+1}{\sqrt{3}}\right)^2}+x-2=\\ \\ \\ =\dfrac{10}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{3}{3+(x+1)^2}+x-2=\dfrac{10}{x^2+2x+4}+x-2=\dfrac{x^3+2}{x^2+2x+4}$