Question

0<x<pi
cos 4x = cos 2x
x=?
a) pi/8
b) pi/6
c) pi/4
d) pi/3
e) pi/2​

Answer 1

Воспользуемся косинусом двойного угла: cos2α=2cos²α-1

$cos4x=cos2x \\ 2cos^22x-1=cos2x \\ 2cos^22x-cos2x-1=0 \\ cos2x=t, \ |t|\leq 1 \\ 2t^2-t-1=0 \\ D=1+8=9=3^2 \\ \\ t_1=\frac{1-3}{4} =\frac{-2}{4} =-\frac{1}{2} \\ \\ t_2=\frac{1+3}{4}=1 \\ \\ 1) \ cos2x=-\frac{1}{2} \\ \\ 2x=^+_- \frac{2 \pi}{3}+2 \pi n \\ \\ x=^+_- \frac{\pi}{3}+ \pi n, \ n \in \mathbb{Z}$

на интервале 0<x<π

находятся корни: π/3 и 2π/3

$2) \ cos2x=1 \\ \\ 2x=2\pi n \\ x=\pi n, \ n \in \mathbb{Z}$

на интервале 0<x<π подходящих ответов нет

Ответ: d)