Question

Найдите катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 17 см , а радиус окружности , вписанный в треугольник ,равен 3 см

Answer 1

Ответ: 8 см и 15 см.

Объяснение:

Радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике находится по формуле:

$r=\dfrac{a+b-c}{2}$

где a, b -- катеты, c -- гипотенуза.

Подставим известные значения:

$3=\dfrac{a+b-17}{2} \\\\a+b-17=6\\\\a+b=23\;\;(1)$

По теореме Пифагора имеем:

$a^2+b^2=c^2\\\\a^2+b^2=289\;\;(2)$

Из равенств (1) и (2) составляем систему:

$\left \{{{\big{a+b=23,}} \atop {\big{a^2+b^2=289}}} \right. \\\\\left \{ {{\big{a=23-b,\quad\quad\quad}} \atop {\big{(23-b)^2+b^2=289}}} \right. \\\\\left \{ {{\big{a=23-b,\quad\quad\quad}} \atop {\big{(23-b)^2+b^2=289}}} \right. \\\\\\529-46b+b^2+b^2=289\\2b^2-46b+240=0\\b^2-23b+120=0\\\\D=23^2-4\cdot120=529-480=49\\\\b=\dfrac{23б7}{2}\\\\ b_1=15\\b_2=8\\\\ \left \lbrack {\big{\left \{ {\big{b=15,\quad} \atop \big{a=23-15}} \right. } \atop {\left \{ {\big{b=8,\quad\;\;} \atop \big{a=23-8}}\right.}\right.$

$\left \lbrack {\big{\left \{ {\big{b=15,} \atop \big{a=8\;\;}} \right. } \atop {\left \{ {\big{b=8,\;\;} \atop \big{a=15}}\right.}\right.$

Отсюда катеты равны 15 см и 8 см или 8 см и 15 см (что одно и тоже в нашем случае).