найдите периметр и площадь прямоугольной трапеции, если длины ее оснований равны 8 см и 12 см, а один из углов равен 135°
заранее спасибо :)
Ответы
Дано :
Четырёхугольник ABCD - прямоугольная трапеция (∡А = ∡В = 90°).
ВС = 8 см.
AD = 12 см.
∡BCD = 135°.
Найти :
S(ABCD) = ?
P(ABCD) = ?
Решение :
Проведём из вершины С к основанию AD высоту СЕ.
Рассмотрим ΔCED - прямоугольный. По свойству трапеции ∡BCD + ∡CDA = 180° (это не сложно доказать, так как основания параллельны, а ∡BCD и ∡CDA - односторонние). Поэтому, ∡CDA = 180° - ∡BCD = 180° - 135° = 45°. А если у прямоугольного треугольника один из острых углов равен 45°, то такой прямоугольный треугольник - равнобедренный. Следовательно, ΔCED - не только прямоугольный, но и равнобедренный (ED = EC).
Рассмотрим четырёхугольник ABCE.
- Если у четырёхугольника три угла прямые, то этот четырёхугольник - прямоугольник.
Так как ∡А = ∡В = ∡СЕА = 90°, то четырёхугольник АВСЕ - прямоугольник.
- Противоположные стороны прямоугольника равны.
Следовательно, ВС = АЕ = 8 см.
AD = AE + ED
12 см = 8 см + ED
ED = 12 см - 8 см = 4 см.
ED = EC = 4 см.
Гипотенузу прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле -
Где а - это катет равнобедренного прямоугольного треугольника.
Тогда -
CD = 4√2 см.
- Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты.
Следовательно -
S(ABCD) = 40 (см²).
- - -
Теперь найдём периметр. Периметр - это сумма длин всех сторон.
- В прямоугольной трапеции высота равна меньшей боковой стороне.
В нашем случае меньшая боковая сторона - это сторона АВ.
То есть -
АВ = ЕС = 4 см.
Тогда -
P(ABCD) = 4*(6 + √2) см.
Ответ :
40 см², 4*(6 + √2) см.
![](https://st.uroker.com/files/5e0/5e067e55e18a2e47a7785357f8b98f39.png)
См. решение на рисунке.
![](https://st.uroker.com/files/83d/83d1a264b1b0cf7aa9a40e2722fc5929.png)