Question

В треугольнике ABC сторона AB = 15 и AC = 10, AD – биссектриса угла A. Из точки D проведена прямая, параллельная AB, до пересечения с AC в точке E. Найдите AE, EC и DE

Answer 1

По свойству биссектрисы $\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{CD}{BD}=\dfrac{CD}{BC-CD}=\dfrac{2}{3}~~~\Rightarrow~~~\dfrac{BC-CD}{CD}=\dfrac{3}{2}~~~\Rightarrow~~\dfrac{BC}{CD}-1=\dfrac{3}{2}\\ \\ \\ \dfrac{BC}{CD}=\dfrac{5}{2}$

У треугольников $ABC$ и $DEC$ угол $C$ общий и $\angle DEC=\angle BAC$ как соответственные углы при $DE~\big|\big|~ AB$ и секущей $AC$. Следовательно, $зABC\sim зEDC$ по двум углам. Из подобия треугольников следует, что $\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{CD}=\dfrac{AC}{EC}$

Тогда

$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{BC}{CD}~~~\Rightarrow~~~ \dfrac{15}{DE}=\dfrac{5}{2}~~~\Rightarrow~~~~\boxed{DE=6_{\sf CM}}$

$\dfrac{BC}{CD}=\dfrac{AC}{EC}~~~\Rightarrow~~~\dfrac{5}{2}=\dfrac{10}{EC}~~~\Rightarrow~~~ \boxed{EC=4_{\sf CM}}$

$AE=AC-EC=10-4=6~_{\sf CM}$