Question

1. Упростить уравнение функции y=x4+x41+x4+x4(1+x4)2+x4(1+x4)3+⋯ и найти ее значение, если x=3.
2. Укажи номер члена последовательности yn=13−n/5n+8, равного 5/48.

очень срочно умоляю помогите

Answer 1

$x^{4}+\frac{x^{4}}{1+x^{4}}+\frac{x^{4} }{(1+x^{4})^{2}}+\frac{x^{4}}{(1+x^{4})^{3}}+...}=x^{4} (1+\frac{1}{1+x^{4}}+\frac{1}{(1+x^{4})^{2}}+\frac{1}{(1+x^{4})^{3}}+...)$

То что в скобках - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия в которой b₁ = 1 , а q = 1/(1+x⁴).

Найдём сумму этой прогрессии :

$S=\frac{b_{1} }{1-q} =\frac{1}{1-\frac{1}{1+x^{4}}}=\frac{1}{\frac{1+x^{4}-1 }{1+x^{4}}}=\frac{1}{\frac{x^{4} }{1+x^{4}}}=\frac{1+x^{4} }{x^{4}}$

Следовательно :

$x^{4}+\frac{x^{4} }{1+x^{4}}+\frac{x^{4}}{(1+x^{4})^{2}}=\frac{x^{4} }{(1+x^{4})^{3}}+... =x^{4}*\frac{1+x^{4}}{x^{4}}=1+x^{4} \\\\x=3\\\\1+x^{4}=1+3^{4}=1+81=82\\\\Otvet:\boxed{82}$

2)

$y_{n}=\frac{13-n}{5n+8}\\\\y_{n}=\frac{5}{48}\\\\\frac{13-n}{5n+8}=\frac{5}{48}\\\\48(13-n)=5(5n+8)\\\\624-48n=25n+40\\\\-48n-25n=40-624\\\\-73n=-584\\\\n=8\\\\Otvet:\boxed{n=8}$