Question

Проверить что четыре точки А(3;-1;2) В(1;2;-1) С(-1;1;-3) D(3;-5;3) служат вершинами трапеции

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

Для проверки этих условий вычислим векторы:

АВ=(1-3;2-(-1);-1-2)=(-2;3;-3)

ВС=(-1-1;1-2;-3-(-1))=(-2;-1;-2)

CD=(3-(-1);-5-1;3-(-3))=(4;-6;6)

DA=(3-3;-1-(-5);2-3)=(0;4;-1)

Теперь проверим вычисленные векторы на коллинеарность. Этого достаточно для вывода о параллельности, т.к. координаты точек не совпадают.

Два вектора a и b коллинеарны, если существует число n такое, что

а=n×b.

Как видно из координат векторов, таких вектора у нас 2: АВ и CD, т.к.

АВ×(-2)=СD.

Теперь проверим условие, что длины сторон (т.е. векторов) не равны между собой.

|AB|=$\sqrt{(-2)^{2}+3^{2}+(-3)^{2}   } =\sqrt{4+9+9} =\sqrt{40}$

|BC|=$\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2} } =\sqrt{4+1+4} =\sqrt{9} =3$

|CD|=$\sqrt{4^{2} +(-6)^{2}+6^{2} } =\sqrt{16+36+36} =\sqrt{88}$

|DA|=$\sqrt{0^{2}+4^{2}+(-1)^{2} } =\sqrt{0+16+1} =\sqrt{17}$

Как видим, ни один из векторов не имеет одинаковую длину с каким-либо другим из четырёх имеющихся.

Все условия соблюдены. Значит АВСD - трапеция.