Question

Помогите, желательно с объяснением♥

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5} } +\sqrt[3]{2-\sqrt{5} }$

Answer 1

Обозначим всё это выражение через а, т.е.

$\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=a$, тогда возведя обе части равенство до квадрата, получим $\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)^3=a^3$

В левой части равенства применим формулу куб суммы.

$2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5}+3\sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}\left(\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}\right)=a^3\\ \\ \\ 4+3\sqrt[3]{4-5}a=a^3\\ \\ a^3+3a-4=0$

Легко подобрать корень $a=1$, т.е. левая часть уравнения имеет разложение на множители:

$a^3-a^2+a^2-a+4a-4=0\\ \\ a^2(a-1)+a(a-1)+4(a-1)=0\\ \\ (a-1)(a^2+a+4)=0$

Здесь a = 1 есть корнем уравнения и также второй множитель должен равнять нулю

$a^2+a+4=0$

Но это квадратное уравнение корней не имеет, т.к. его дискриминант $D=1-4\cdot 4=-15$ отрицательный.

Следовательно, $\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=a=1$

Ответ: 1.