Question

Помогите по математике
(X^2+2xy)dx+xy*dy=0

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение можно переписать в виде:

$x^2+2xy+xyy'=0$

Как видим, это линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Для этого дифференциального уравнения осуществляется замена $y=ux$, продифференцировав по правилу умножения получим $y'=u'x+u$. Подставляем

$x^2+2x\cdot ux+x\cdot ux\cdot (u'x+u)=0\\ x^2(1+2u+u^2+u'ux)=0\\ x=0\\ \\ 1+2u+u^2+u'ux=0\\ \\ u'ux+(u+1)^2=0\\ \\ \dfrac{udu}{(u+1)^2}=\dfrac{dx}{x}~~~\Rightarrow~~~ \displaystyle \int\dfrac{udu}{(u+1)^2}=\int\dfrac{dx}{x}$

Интеграл левой части уравнения решим методом неопределённых коэффициентов

$\dfrac{u}{(u+1)^2}=\dfrac{A}{u+1}+\dfrac{B}{(u+1)^2}~~~\Rightarrow~~~ u=A(u+1)+B$

$u^{-1}~:~~~-1=B\\ u^0~~~:~~~A+B=0~~~\Rightarrow~~~ A=1$

$\displaystyle \int \left(\dfrac{1}{u+1}-\dfrac{1}{(u+1)^2}\right)du=\int\dfrac{dx}{x}~~\Rightarrow~~ \ln|u+1|+\dfrac{1}{u+1}=\ln|x|+C$

Выполним обратную замену: u = y/x

$\ln\bigg|\dfrac{y}{x}+1\bigg|+\dfrac{x}{y+x}=\ln |x|+C$ — общий интеграл