Question

y'=xy+x ну или же y'=x(y+1)

Помогите с решением, объясните, если не сложно

Ответ нашёл, но не совсем пойму как к нему прийти

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Уравнение с разделяющимися переменными, так как производная после преобразования равна произведению двух функций, одна из которых зависит только от "х" ( это сам "х" ), а вторая - только от "у" ( это функция (у+1) ).

$y'=xy+x\\\\y'=x(y+1)\\\\\frac{dy}{dx}=x(y+1)\\\\\frac{dy}{y+1}=x\, dx\\\\\int \frac{dy}{y+1}=\int x\, dx\\\\ln|y+1|=\frac{x^2}{2}+C$

Или:  

        $ln|y+1|=\frac{x^2}{2}+ln|C|\\\\ln|y+1|-ln|C|=\frac{x^2}{2}\qquad \Big [\; lnA-lnB=ln\frac{A}{B}\; \Big ]\\\\ln\frac{y+1}{C}=\frac{x^2}{2}\qquad \Big [\; lnA=B\; \; \to \; \; A=e^{B}\; \Big ]\\\\\frac{y+1}{C}=e^{\frac{x^2}{2}}\\\\y+1=C\cdot e^{\frac{x^2}{2}}\\\\y=C\cdot e^{\frac{x^2}{2}}-1$