Question

разность четвертого и второго члена геометрической прогрессии равна 30, а разность четвертого и третьего 24. найти 5 член прогрессии ( через замену)​

Answer 1

Составим уравнения по условию

$\displaystyle \left \{ {{b_4-b_2=30} \atop {b_4-b_3=24}} \right.$

По формуле n-го члена геометрической прогрессии мы получим

$\displaystyle \left \{ {{b_1q^3-b_1q=30} \atop {b_1q^3-b_1q^2=24}} \right.~\Rightarrow~\left \{ {{b_1q(q^2-1)=30} \atop {b_1q^2(q-1)=24}} \right.~\Rightarrow~\left \{ {{b_1q(q-1)(q+1)=30} \atop {b_1q^2(q-1)=24}} \right.\\ \\ \\ \left \{ {{b_1q(q-1)(q+1)=30} \atop {b_1q(q-1)=\dfrac{24}{q}}} \right.\\ \\ \\ \dfrac{24}{q}\cdot (q+1)=30~~~\Rightarrow~~ 24(q+1)=30q~~~\Rightarrow~~~ 24q+24=30\\ \\ 6q=24~~~\Rightarrow~~~ q=4\\ \\ b_1=\dfrac{24}{q^2(q-1)}=\dfrac{24}{4^2\cdot (4-1)}=\dfrac{1}{2}$

Пятый член геометрической прогрессии

$b_5=b_1q^4=\dfrac{1}{2}\cdot 4^4=128$

Ответ: 128