Question

Помогите решить
Sin(x) + Ctg(x/2) = 2

Answer 1

$\sin x+{\rm ctg}\,\frac{x}{2}=2\\ \\ \sin x+\dfrac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}=2\\ \\ \sin x+\dfrac{\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{\sin^2\frac{x}{2}}=2\\ \\ \sin x+\dfrac{\sin x}{1-\cos x}=2~~~~\bigg|\cdot (1-\cos x)\ne 0\\ \\ \sin x-\sin x\cos x+\sin x=2-2\cos x\\ \\ 2(\sin x+\cos x)-\sin x\cos x-2=0$

Пусть $\sin x+\cos x=t$ при этом $|t|\leq \sqrt{2}$, тогда возведя обе части до квадрата, получим $1+2\sin x\cos x=t^2$ откуда $\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$, подставляем.

$2t-\dfrac{t^2-1}{2}-2=0~~~\bigg|\cdot 2\\ \\ 4t-t^2+1-4=0\\ \\ t^2-4t+3=0$

По теореме Виета

$t_1=3$ - не удовлетворяет условию при $|t|\leq \sqrt{2}$

$t_2=1$

Возвращаемся к обратной замене

$\sin x+\cos x=1~~~\bigg|\cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \sin x\cos \dfrac{\pi}{4}+\cos x\sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k,k \in \mathbb{Z}\end{array}\right~~\Rightarrow~~ \left[\begin{array}{ccc}x_1=2\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x_2=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,k \in \mathbb{Z}\end{array}\right$

Заметим, что ОДЗ уравнения $\sin \frac{x}{2}\ne0$ откуда $x\ne 2\pi k$, следовательно, первый корень нужно отбросить.

Ответ: $\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,k \in \mathbb{Z}$