Question

Равенство $5\sqrt{x^2+1} -3(x^2+1)^\frac{3}{2} =3(x^2+1)^k(mx^2+n)$ справедливо для любгго действительного числа x, где k, m и n некоторые действительные числа. Найдите k+m+n

Answer 1

$5\sqrt{x^2+1}-3(x^2+1)^{\frac{3}{2}}=5\sqrt{x^2+1}-3\sqrt{(x^2+1)^3}=5\sqrt{x^2+1}-\\ \\ \\ -3(x^2+1)\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x^2+1}\left(5-3x^2-3\right)=\sqrt{x^2+1}(-3x^2+2)=\\ \\ \\ =3(x^2+1)^{\frac{1}{2}}\left(-x^2+\frac{2}{3}\right)$

Откуда получаем $k=\dfrac{1}{2};~ m=-1;~ n=\dfrac{2}{3}$, тогда

$k+m+n=\dfrac{1}{2}-1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{6}$

Ответ: $\dfrac{1}{6}$