Question

Докажите неравенство

Answer 1

$\dfrac{m^2+9n^2}{6}\geq mn~~~\Rightarrow~~~ m^2+9n^2\geq 6mn~~\Rightarrow~ m^2-6mn+9n^2\geq 0\\ \\ (m-3n)^2\geq 0$

Это неравенство верно для всех m,n.

Answer 2

Левая часть не меньше правой, если их разность есть число неотрицательное. Составим разность (m²+9n²)/6-mn=

(m²-6mn+9n²)/6=(m-3n)²/6; при  любых значениях n и m числитель есть число неотрицательное, знаменатель положителен, поэтому дробь - неотрицательна. Неравенство доказано.